Algebra abstrak ialah bidang
matematik yang mengkaji
struktur algebra seperti
kumpulan,
gelanggang,
medan,
modul,
ruang vektor dan
algebra. Istilah algebra abstrak pertama kali muncul pada abad ke-20 untuk membezakan bidang ini dengan apa yang sering dirujuk sebagai
algebra, iaitu subjek tentang manipulasi ungkapan dan formula algebra yang melibatkan nombor tidak diketahui dan
nyata atau
kompleks, yang juga dikenali dengan nama
algebra permulaan. Pembezaan ini bagaimanapun jarang dibuat dalam kebanyakan penulisan kini.Matematik kontemporari dan
fizik matematik banyak mengaplikasikan algebra abstrak; contohnya, fizik teori dikaji berdasarkan
algebra Lie. Subjek seperti
teori nombor algebra,
topologi algebra dan
geometri algebra mengaplikasi kaedah algebra ke dalam bidang matematik yang lain.
Teori perwakilan, secara kasarnya, mengambil perkara yang 'abstrak' dari 'algebra abstrak', dan mengakaji sisi konkrit dari struktur diberi; lihat
teori model.Dua bidang matematik yang mengkaji sifat-sifat struktur algebra yang dilihat secara keseluruhan adalah
algebra universal dan
teori kategori. Struktur algebra, bersama-sama dengan
hormofisme, membentuk
kategori-kategori. Teori kategori ialah formalisme yang hebat dalam mengkaji dan membandingkan struktur-struktur algebra yang berbeza.Sepertimana dalam banyak cabang matematik lain, masalah konkrit dan contoh memainkan peranan dalam pembangunan algebra. Pada penghujung kurun ke-19, kebanyakan masalah ini mempunyai kaitan dari beberapa segi dengan teori persamaan algebra. Antara tema utamanya termasuklah:Banyak buku teks tentang algebra abstrak bermula dengan definisi
aksiomatik tentang pelbagai
struktur algebra dan kemudian membentuk sifat-sifatnya, menghasilkan tanggapan salah berkenaan kemunculan dahulu aksiom dalam algebra, yang kemudiannya dijadikan motivasi dan asas untuk kajian lanjut. Bagaimanapun, turutan sebenar dalam sejarah pembangunan ilmu ini adalah sebaliknya. Contohnya
nombor hiperkompleks kurun ke-19 memiliki motivasi kinematik dan fizikal tetapi menguji kefahaman. Kebanyakan teori yang kini dianggap sebahagian dari algebra bermula sebagai koleksi fakta-fakta yang berbeza dari pelbagai cabang matematik, yang mempunyai tema sepunya yang bertindak sebagai teras di mana pelbagai keputusan dikumpulkan, dan akhirnya disatukan berdasarkan konsep yang sama. Contoh tipikal untuk sintesis progresif ini dapat dilihat dalam
teori kumpulan.