Dilahirkan di Segamat, Johor. Musa belajar di English College (kini "Maktab Sultan Abu Bakar"), Johor Bahru dan memperoleh ijazah Sarjana Mudanya dari Universiti Malaya. Beliau kemudian mengambil kursus sarjana dalam bidang hubungan antarabangsa di Universiti Sussex, United Kingdom. Selain daripada menerima pelbagai anugerah dan penghargaan, termasuk Doktor Kehormat dari Universiti Sussex, Musa juga pernah memegang pelbagai jawatan di peringkat antarabangsa beberapa kali. Jawatan ini termasuklah Pengerusi Persatuan Parlimen Komanwel, Ahli Lembaga UNESCO, Ketua Perwakilan Pemerhati Komanwel untuk pilihan raya umum Malawi, serta Ahli Perwakilan Menteri Komanwel ke Nigeria, Pakistan, Fiji, dan Gambia.