Persamaan gelombang merupakan contoh persamaan pembezaan separa hiperbolik, tetapi ia mempunyai banyak variasi.

Dalam bentuknya yang paling ringkas, persamaan gelombang melibatkan pembolehubah masa t, satu atau lebih pembolehubah ruang x1, x2, …, xn, dan fungsi skalar u = u (x1, x2, …, xn; t), yang nilainya boleh memodel sesaran satu gelombang. Persamaan gelombang bagi u ialah

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u}

di mana ∇2 merupakan pengendali Laplace (ruang) dan c ialah pemalar tetap.

Penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan ini yang asalnya sifar di luar sesetengah kawasan terhalang merambat keluar dari kawasan itu pada kelajuan tetap ke semua arah ruang, begitu juga dengan gelombang fizikal dari gangguan setempat; pemalar c dikenalpasti dengan kelajuan perambatan gelombang itu. Persamaan ini linear kerana hasil tambah mana-mana dua penyelesaian juga adalah penyelesaian: dalam fizik, ciri ini dinamakan prinsip superposisi.

Persamaan ini sahaja tidak menyatakan satu penyelesaian; satu persamaan unik biasanya diperoleh dengan menetapkan satu masalah dengan syarat-syarat lanjut, seperti syarat asal, yang memberi nilai dan halaju gelombang. Satu lagi kelas masalah menyatakan syarat sempadan, yang baginya penyelesaian menggambarkan gelombang pegun, atau harmonik, yang serupa dengan harmonik alat-alat muzik.

Untuk memodel fenomena gelombang terserak, iaitu gelombang yang kelajuan perambatan gelombangnya berbeza mengikut frekuensi gelombang itu, pemalar c digantikan dengan halaju fasa:

v p = ω k . {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}

Persamaan gelombang elastik dalam tiga dimensi menggambarkan perambatan gelombang dalam bahantara elastik homogen isotropik. Kebanyakan bahan pepejal adalah elastik, oleh itu persamaan ini menggambarkan fenomena-fenomena seperti gelombang seismos di dalam Bumi dan gelombang ultrabunyi yang digunakan untuk mengesan kecacatan dalam bahan-bahan. Meskipun ia linear, persamaan ini mempunyai bentuk yang lebih rumit daripada persamaan yang diberikan di atas, kerana ia perlu meliputi kedua-dua pergerakan longitud dan lintang:

ρ u ¨ = f + ( λ + 2 μ ) ∇ ( ∇ ⋅ u ) − μ ∇ × ( ∇ × u ) {\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}

di mana:

• λ dan μ merupakan apa yang digelar parameter Lamé yang menggambarkan ciri-ciri elastik sesuatu bahantara,
• ρ ialah kepadatan,
• f ialah fungsi sumber (daya penggerak),
• dan u ialah vektor sesaran.

Perhatikan dalam persamaan ini, kedua-dua daya dan sesaran merupakan nilai vektor. Oleh itu, persamaan ini kadang kala dikenali sebagai persamaan gelombang vektor.

Bentuk-bentuk lain fungsi gelombang juga ditemui dalam mekanik kuantum, fizik plasma dan kerelatifan am.