Derivation of local energy-momentum conservation

Menghadkan pengenalan Bianchi pembezaan

R a b [ c d ; e ] = 0 {\displaystyle R_{ab[cd;e]}=\,0}

dengan g a c {\displaystyle g^{ac}} memberikan, menggunakan fakta bahawa tensor metrik ialah konstan secara kovarian, iaitu g a b ; c = 0 {\displaystyle g^{ab}{}_{;c}=0} ,

R c b c d ; e + R c b e c ; d + R c b d e ; c = 0 {\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}+\,R^{c}{}_{bec;d}+\,R^{c}{}_{bde;c}=\,0}

Antisimetri tensor Riemann membenarkan terma kedua dalam penjelasan di atas dituliskan semula:

R c b c d ; e − R c b c e ; d + R c b d e ; c = 0 {\displaystyle R^{c}{}_{bcd;e}\,-R^{c}{}_{bce;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}

yang bersamaan dengan

R b d ; e − R b e ; d + R c b d e ; c = 0 {\displaystyle R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c}\,=0}

menggunakan takrifan tensor Ricci.

Kemudian, singkatkan lagi dengan metrik

g b d ( R b d ; e − R b e ; d + R c b d e ; c ) = 0 {\displaystyle g^{bd}(R_{bd;e}\,-R_{be;d}\,+R^{c}{}_{bde;c})\,=0}

to get

R d d ; e − R d e ; d + R c d d e ; c = 0 {\displaystyle R^{d}{}_{d;e}\,-R^{d}{}_{e;d}\,+R^{cd}{}_{de;c}\,=0}

Takrifan tensor Riemann dan skalar Ricci kemudian menunjukkan bahawa

R , e − 2 R c e ; c = 0 {\displaystyle R_{,e}\,-2R^{c}{}_{e;c}\,=0}

yang dapat dituliskann semula sebagai

( R c e − 1 2 g c e R ) ; c = 0 {\displaystyle (R^{c}{}_{e}\,-{\frac {1}{2}}g^{c}{}_{e}R)_{;c}\,=0}

Penyingkatan terakhir dengan g e d {\displaystyle g^{ed}} memberikan

( R c d − 1 2 g c d R ) ; c = 0 {\displaystyle (R^{cd}\,-{\frac {1}{2}}g^{cd}R)_{;c}\,=0}

yang dengan simetri istilah ditandakurung dan takrifan tensor Einstein, memberikan, selepas menandakan semula kandungan-kandungan,

G a b ; b = 0 {\displaystyle G^{ab}{}_{;b}\,=0}

Menggunakan EFE, ini secara langsung memberikan,

∇ b T a b = T a b ; b = 0 {\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}_{;b}\,=0}

Penerbitan hukum graviti Newton

Kegravitian Newton dapat dituliskan sebagai teori jurusan skalar, Φ {\displaystyle \Phi \!} , yang mana adalah potensi kegravitian dalam Joules tiap kilogram

∇ 2 Φ [ x → , t ] = 4 π G ρ [ x → , t ] {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi [{\vec {x}},t]=4\pi G\rho [{\vec {x}},t]}

di mana ρ {\displaystyle \rho \!} adalah kepadatan massa. Orbit suatu habuk jatuh bebas memuaskan

x → ¨ [ t ] = − ∇ Φ [ x → [ t ] , t ] . {\displaystyle {\ddot {\vec {x}}}[t]=-\nabla \Phi [{\vec {x}}[t],t]\,.}

Dalam catatan tensor, ini menjadi

Φ , i i = 4 π G ρ {\displaystyle \Phi _{,ii}=4\pi G\rho \,} d 2 x i d t 2 = − Φ , i . {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}=-\Phi _{,i}\,.}

Dalam kerelatifan am, persamaan ini digantikan oleh persamaan jurusan Einstein dalam bentuk membalik kesan

R μ ν = K ( T μ ν − 1 2 T g μ ν ) {\displaystyle R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-{1 \over 2}Tg_{\mu \nu })}

untuk sesetengah konstan, K, dan persamaan geodesik

d 2 x α d τ 2 = − Γ β γ α d x β d τ d x γ d τ . {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\alpha }}{{d\tau }^{2}}}=-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}

Untuk melihat bagaimana yang kemudiannya mengurang ke yang bekasnya, kita anggap bahawa halaju ujian habuk adalah lebih kurang kosong

d x β d τ ≈ ( d t d τ , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\approx ({\frac {dt}{d\tau }},0,0,0)}

dan oleh itu

d d t ( d t d τ ) ≈ 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)\approx 0}

dan bahawa metrik dan terbitannya adalah lebih kurang statik dan bahawa punca-punca kuasa dua penyelewengan dari metrik Minkowski adalah sedikit sekali. Menggunakan anggapan pemudahan ini pada komponen spatial persamaan geodesik memberikans

d 2 x i d t 2 ≈ − Γ 00 i {\displaystyle {\frac {d^{2}x^{i}}{{dt}^{2}}}\approx -\Gamma _{00}^{i}}

di mana dua faktor d t d τ {\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}} telah dibahagikan. Ini akan mengurang ke rakan Newtonnya, diberikanh

Φ , i ≈ Γ 00 i = 1 2 g i α ( g α 0 , 0 + g 0 α , 0 − g 00 , α ) . {\displaystyle \Phi _{,i}\approx \Gamma _{00}^{i}={1 \over 2}g^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha })\,.}

Kuasa anggapan kita α=i dan waktu (0) menerbitkan jadi kosong. Jadi ini memudahkan ke

2 Φ , i ≈ g i j ( − g 00 , j ) ≈ − g 00 , i {\displaystyle 2\Phi _{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}\,}

yang dipuaskan dengan membiarkan

g 00 ≈ − c 2 − 2 Φ . {\displaystyle g_{00}\approx -c^{2}-2\Phi \,.}

Berpusing ke persamaan Einstein, kita hanya memerlukan komponen waktu-waktu

R 00 = K ( T 00 − 1 2 T g 00 ) {\displaystyle R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})}

kelajuan rendah dan anggapan jurusan statik bermakna bahawa

T μ ν ≈ d i a g ( T 00 , 0 , 0 , 0 ) ≈ d i a g ( ρ c 4 , 0 , 0 , 0 ) . {\displaystyle T_{\mu \nu }\approx \mathrm {diag} (T_{00},0,0,0)\approx \mathrm {diag} (\rho c^{4},0,0,0)\,.}

Jadi

T = g α β T α β ≈ g 00 T 00 ≈ − 1 c 2 ρ c 4 = − ρ c 2 {\displaystyle T=g^{\alpha \beta }T_{\alpha \beta }\approx g^{00}T_{00}\approx {-1 \over c^{2}}\rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}

dan oleh itu

K ( T 00 − 1 2 T g 00 ) ≈ K ( ρ c 4 − 1 2 ( − ρ c 2 ) ( − c 2 ) ) = 1 2 K ρ c 4 . {\displaystyle K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx K(\rho c^{4}-{1 \over 2}(-\rho c^{2})(-c^{2}))={1 \over 2}K\rho c^{4}\,.}

Dari takrifan tensor Ricci

R 00 = Γ 00 , ρ ρ − Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ − Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ . {\displaystyle R_{00}=\Gamma _{00,\rho }^{\rho }-\Gamma _{\rho 0,0}^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}

Anggapan memudahkan kita membuatkan punca-punca kuasa dua Γ hilang sama sekali dengan terbitan waktu

R 00 ≈ Γ 00 , i i . {\displaystyle R_{00}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\,.}

Menggubahkan persamaan di atas semua sekali

Φ , i i ≈ Γ 00 , i i ≈ R 00 = K ( T 00 − 1 2 T g 00 ) ≈ 1 2 K ρ c 4 {\displaystyle \Phi _{,ii}\approx \Gamma _{00,i}^{i}\approx R_{00}=K(T_{00}-{1 \over 2}Tg_{00})\approx {1 \over 2}K\rho c^{4}\,}

yang mengurangkan persamaan jurusan Newton memberikan

1 2 K ρ c 4 = 4 π G ρ {\displaystyle {1 \over 2}K\rho c^{4}=4\pi G\rho \,}

yang mana akan bermuncul jika

K = 8 π G c 4 . {\displaystyle K={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,.}