Layanan Teori_kebarangkalian

Kebanyakan pengenalan pada teori kebarangkalian melayan pengedaran kebarangkalian discrete dan pengedaran kebarangkalian berlanjut secara terasing. Teori asas ukuran lebih maju secara matematik layanan kebarangkalian meliputi yang discrete, yang berlanjutan, mana-mana campuran dari kedua-dua ini dan lebih.

Pengedaran kebarangkalian discrete

Rencana utama: Pengedaran kebarangkalian discrete

Teori Kebarangkalian discrete diuruskan dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul di ruang-ruang sampel berkira.

Contoh: Membaling dadu, bereksperimen dengan set daun terup, dan jalan ganjil.

Takrifan klasik:Pada mulanya kebarangkalian suatu peristiwa bermuncul telah ditakrifkan sebagai bilangan perkara digemari untuk peristiwa itu, ke atas bilangan jumlah akibat dalam suatu ruang sampel equiprobable.

Contohnya, jika peristiwa itu adalah "kemunculan pada nombor genap apabila sebuah dadu digolekkan", kebarangkalian diberikan oleh 3 6 = 1 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{2}}} , sejak 3 menghadap keluar dari 6 mempunyai nombor-bombor genap dan tiap muka mempunyai kebarangkalian sama pada kemunculan.

Takrifan moden:Takrifan moden bermula dengan suatu set bergelar ruang sampel, yang berkaitan dengan set pada semua akibat kemungkinan dari segi kalsik, ditandakan oleh Ω = { x 1 , x 2 , … } {\displaystyle \Omega =\left\{x_{1},x_{2},\dots \right\}} . Ia dianggapkan bahawa untuk tiap elemen x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega \,} , sebuah nilai "kemungkinan " intrinsik f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} bercantum, yang memuaskan ciri-ciri berikut:

f ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] untuk semua x ∈ Ω ; {\displaystyle f(x)\in [0,1]{\mbox{ untuk semua }}x\in \Omega \,;}
∑ x ∈ Ω f ( x ) = 1 . {\displaystyle \sum _{x\in \Omega }f(x)=1\,.}

Iaitu, fungsi kebarangkalian f(x) terletak di antara kosong dan satu untuk setiap nilai x dalam ruang sampel Ω, dan jumlah f(x) ke atas semua nilai x dalam ruang sampel Ω sama dengan 1. Sebuah kejadian ditakrifkan sebagai mana-mana subset E {\displaystyle E\,} ruang sampel Ω {\displaystyle \Omega \,} . Kebarangkalian kejadian E {\displaystyle E\,} ditakrifkan

P ( E ) = ∑ x ∈ E f ( x ) . {\displaystyle P(E)=\sum _{x\in E}f(x)\,.}

Oleh itu, kemungkinan keseluruhan ruang sampel adalah 1, dan kemungkinan yang tidak sah adalah 0.

Fungsi f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} memetakan sebuah poin di ruang sampel pada nilai "kemungkinan" digelarkan sebuah fungsi massa kemungkinan diringkaskan pmf. Takrifan moden tidak cuba menjawab bagaimana fungsi massa kemungkinan diperolehi; daripadanya ia membina sebuah teori yang menganggapkan kemunculan mereka.

Pengedaran kemungkinan berlanjutan

Rencana utama: Pengedaran kemungkinan lanjutan

Teori kemungkinan berlanjutan mengurus dengan peristiwa-peristiwa yang bermuncul dalam suatu ruang sampel berlanjutan.

Takrifan klasik: takrifan klasik memecah apabila dihadapi dengan perkara berlanjutan. Lihat Paradoks Bertrand.

Takrifan moden: If the outcome space of a random variable X adalah set real numbers ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ) atau suatu subsetyang disebutkan, kemudian suatu fungsi digelar fungsi pengedaran kumulatif (atau cdf) F {\displaystyle F\,} bermuncul, ditakrifkan oleh F ( x ) = P ( X ≤ x ) {\displaystyle F(x)=P(X\leq x)\,} . Iaitu, F(x) berpulangkan kebarangkalian bahawa X akan menjadi kurang daripada atau sama dengan x.

Cdf secara perlu memuaskan ciri-ciri yang berikut.

F {\displaystyle F\,} adalah sebuah fungsi secara monotoni tidak-berkurangan, berlanjutan-kanan;
lim x → − ∞ F ( x ) = 0 ; {\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0\,;}
lim x → ∞ F ( x ) = 1 . {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1\,.}

Jika F {\displaystyle F\,} adalah berlanjutan secara keseluruhan, i.e., derivatifnya wjud dan integrating derivatif memberikan kita cdf lagi, kemudian pembolehubah ganjil X dikatakan mempunyai suatu fungsi kepadatan kebarangkalian atau pdf atau hanya kepadatan f ( x ) = d F ( x ) d x . {\displaystyle f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}\,.}

Untuk sebuah set E ⊆ R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} } , kebarangkalian pada pembolehubah ganjil X dijadikan E {\displaystyle E\,} adalah

P ( X ∈ E ) = ∫ x ∈ E d F ( x ) . {\displaystyle P(X\in E)=\int _{x\in E}dF(x)\,.}

Sekiranya fungsi kepadatan kebarangkalian wujud, ini dapat dituliskan

P ( X ∈ E ) = ∫ x ∈ E f ( x ) d x . {\displaystyle P(X\in E)=\int _{x\in E}f(x)\,dx\,.}

Di manaya pdf wujud hanya untuk pembolehubah ganjil berlanjutan, cdf wujud untuk semua pembolehubah (termasuk pembolehubah ganjil discrete) yang mengambil nilai-nilai di R . {\displaystyle \mathbb {R} \,.}

Konsep-konsep ini dapat diumumkan untuk perkara-perkara pelbagai dimensional pada R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} dan ruang-ruang sampel berlanjutan lain.

Teori kemungkinan berteori-ukuran

Raison d'être pada layanan berteori-ukuran kebarangkalian adalah bahawa ia menyatukan perkara discrete dan berlanjutan, dan membuat perbezaan suatu soalan pada ukuran mana yang digunakan. Tambahan, ia meliputi pengedaran yang bukan discrete atau berlanjuatan atau campuran pada kedua-duanya.

Suatu contoh pada sebarang pengedaran boleh jadi suatu campuran pengedaran discrete dan berlanjutan, contohnya, suatu pembolehubah ganjil yang adalah 0 dengan kebarangkalian 1/2, dan mengambil nilai ganjil dari suatu pengedaran biasa dengan kebarangkalian 1/2. Ia dapat masih dipelajari ke sesetengah extent dengan menganggapnya mempunyai suatu pdf ( δ [ x ] + φ ( x ) ) / 2 {\displaystyle (\delta [x]+\varphi (x))/2} , where δ [ x ] {\displaystyle \delta [x]} adalah fungsi Dirac delta.

Pengedaran lain mungkin bukan pun suatu campuran, contohnya, pengedaran Cantor tidak mempunyai kebarangkalian positif untuk mana-mana poin satu, tidak pun ia mempunyai suatu kepadatan. Kecapaian moden pada teori kebarangkalian menyelesai masalah-masalah ini menggunakan teori ukuran untuk mentakrifkan ruang kebarangkalian:

Diberikan mana-mana set Ω {\displaystyle \Omega \,} , (juga digelar ruang sampel) dan suatu σ-algebra F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} padanya, suatu ukuran P {\displaystyle P\,} ditakrifkan di F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} digelar suatu ukuran kebarangkalian jika P ( Ω ) = 1. {\displaystyle P(\Omega )=1.\,}

Jika F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} adalah Algebra-σ Borel pada set real numbers, oleh itu adanya ukuran kebarangkalian unik pada F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} untuk mana-mana cdf, dan sebaliknya. Ukuran berkorespon dengan cdf dikatakan didorongkan oleh cdf. Ukuran ini bersesuaian dengan pmf untuk pembolehubah discrete, dan pdf untuk pembolehubah berlanjutan, membuatkan pencapaian berteori-ukuran bebas dari kesilapan.

Kebarangkalian suatu set E {\displaystyle E\,} dalam algebra-σ F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} ditakrifkan

P ( E ) = ∫ ω ∈ E μ F ( d ω ) {\displaystyle P(E)=\int _{\omega \in E}\mu _{F}(d\omega )\,}

di mana integrasi tertentunya dengan ukuran μ F {\displaystyle \mu _{F}\,} didorong oleh F . {\displaystyle F\,.}

Bersama dengan memberikan kefahaman lebih baik dan penyatuan kebarangkalian discrete dan berlanjutan, layanan berteori-ukuran juga membenarkan kita untuk bertugas pada kebarangkalian di luar R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , seperti dalam teori pemerosesan stokastik. Contohnya untuk mempelajari mosi Brownian, kebarangkalian ditakrifkan pada ruang fungsi.