Matematik Waktu_koordinat

Untuk pemerhati bukan inersia, dan dalam ilmu kerelatifan am, sistem koordinat boleh dipilih dengan lebih bebas. Bagi jam yang nalar koordinat ruangnya, hubungan antara masa wajar τ (huruf kecil Yunani tau) dan masa koordinat t, iaitu kadar dilasi masa, adalah diberi seperti berikut:

d τ d t = − g 00 {\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}={\sqrt {-g_{00}}}}

 

 

 

 

(1)

yang mana g00 adalah satu komponen tensor metrik yang menerapkan dilasi masa graviti (mengikut andaian bahawa komponen kesifar adalah seakan masa).

Satu rumusan alternatif yang tepat pada turutan sebutan pada 1/c2, menyampaikan hubungan antara waktu wajar dan koordinat dari segi kuantiti yang lebih senang difahami dalam dinamik:[4]

d τ d t = 1 − U c 2 − v 2 2 c 2 {\displaystyle {\frac {d\tau }{dt}}=1-{\frac {U}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}}

 

 

 

 

(2)

yang mana:

U = ∑ i G M i r i {\displaystyle U=\sum _{i}{\frac {GM_{i}}{r_{i}}}}

merupakan jumlah keupayaan graviti disebabkan jasad-jasad dalam kejiranan, berdasarkan jarak-jaraknya ri dari jam. Jumlah sebutan GMi/ri dinilai secara kasar sebagai jumlah keupayaan graviti Newtonan (tambah sebarang keupayaan pasang surut yang diambil kira), bahkan digambarkan dengan menggunakan kelaziman tanda-tanda astronomi positif untuk keupayaan graviti.

Begitu juga, c adalah kelajuan cahaya, dan v adalah kelajuan jam (dalam koordinat rangka rujukan terpilih) yang bertakrif:

v 2 = ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) / ( d t c ) 2 {\displaystyle v^{2}=(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/(dt_{c})^{2}}

 

 

 

 

(3)

yang mana dx, dy, dz dan dtc adalah tokokan kecil-kecil dalam tiga koordinat ortogon seakan ruang iaitu x, y, z dan dalam waktu koordinat tc bagi kedudukan jam dalam rangka rujukan terpilih.

Persamaan (2) merupakan persamaan pembezaan yang asas dan seringkali dipetik untuk perkaitan antara waktu wajar dan waktu koordinat, iaitu untuk dilasi masa. Sebuah penerbitan, mulai metrik Schwarzschild dengan sumber rujukan lanjutan, diberi dalam dilasi masa disebabkan kegravitian bersama pergerakan.