Kertas pertama diterbitkan Boole adalah Penyelidikan dalam teori transformasi analisis, dengan aplikasi khas untuk pengurangan persamaan umum perintah kedua, yang dicetak dalam Journal Cambridge Matematik dalam Februari 1840 (Jilid 2, no 8, ms.  . 64-73), dan ia membawa kepada persahabatan antara Boole dan Duncan Farquharson Gregory, editor jurnal. Karya-karya beliau adalah dalam kira-kira 50 artikel dan beberapa penerbitan berasingan.[18]

Pada tahun 1841 Boole menerbitkan satu kertas berpengaruh pada awal teori tak berubah.[9] Beliau menerima pingat dari Royal Society untuk memoir beliau tahun 1844, Pada Tatacara Am Analisis. Ia merupakan satu sumbangan kepada teori persamaan pembezaan linear s, bergerak dari hal pekali malar di mana beliau telah pun diterbitkan, untuk pekali pembolehubah.[19] The innovation in operational methods is to admit that operations may not commute.[20] Pada tahun 1847 Boole menerbitkan Analisis Matematik Logik, pertama karya-karya beliau kepada logik simbolik.[21]

Persamaan pembezaan

Dua karya sistematik pada mata pelajaran matematik telah disempurnakan oleh Boole semasa hayatnya. Treatise on Persamaan Pembezaan[22] muncul pada tahun 1859, dan diikuti, tahun yang berikutnya, oleh Treatise pada Kalculus daripada Perbezaan Terhingga, sekuel kepada kerja-kerja bekas.

Analisis

Pada tahun 1857, Boole menerbitkan Mengenai Perbandingan Transcendents, dengan Aplikasi tertentu kepada Teori Kamiran Pasti,[23] di mana beliau belajar jumlah sisa fungsi rasional. Antara keputusan yang lain, beliau membuktikan apa yang kini dikenali pengenalan Boole:

m e s { x ∈ R ∣ ℜ 1 π ∑ a k x − b k ≥ t } = ∑ a k π t {\displaystyle \mathrm {mes} \left\{x\in \mathbb {R} \,\mid \,\Re {\frac {1}{\pi }}\sum {\frac {a_{k}}{x-b_{k}}}\geq t\right\}={\frac {\sum a_{k}}{\pi t}}}

bagi mana-mana angka sebenar ak > 0, bk, dan t > 0.[24] Mengitlakkan identiti ini memainkan peranan yang penting dalam teori perubahan Hilbert.[24]

Logik simbolik

Pada tahun 1847 Boole diterbitkan risalah Analisis Matematik Logik. Beliau kemudiannya dianggap sebagai pameran cacat sistem logik, dan mahu Suatu kajian Undang-Undang Pemikiran pada Yang sedang Ditubuhkan Teori Matematik Logik dan Kebarangkalian dilihat sebagai kenyataan itu matang pandangannya. Bertentangan dengan kepercayaan meluas, Boole tidak pernah berniat untuk mengkritik atau tidak bersetuju dengan prinsip-prinsip utama logik Aristotle. Sebaliknya beliau berhasrat untuk bersistem, untuk menyediakan dengan dasar, dan meluaskan rangkaian produk-tidaknya.[25] Penglibatan awal Boole dalam logik didorong oleh perdebatan semasa di kuantifikasi, antara Sir William Hamilton yang menyokong teori "kuantifikasi predikat", dan penyokong Boole Augustus De Morgan yang maju versi De Morgan berbelah, kerana ia kini dikenali. Pendekatan Boole telah akhirnya mencapai lebih jauh daripada sama ada pihak dalam kontroversi.[26] Ia diasaskan apa yang pertama kali dikenali sebagai "algebra logik" tradisi.[27]

Di antara inovasi beliau adalah prinsip rujukan holistik beliau, yang kemudiannya, dan mungkin secara bebas, yang diterima pakai oleh Gottlob Frege dan oleh logicians yang melanggan standard logik tertib pertama. Satu rencana 2003[28] menyediakan perbandingan sistematik dan penilaian kritikal logik Aristotle dan logik Boole; ia juga mendedahkan keutamaan rujukan holistik dalam falsafah logik Boole.

Takrif 1854 Boole pada alam semesta wacana

Dalam tiap-tiap wacana, sama ada minda berbual dengan fikiran sendiri, atau individu dalam hubungan dengan orang lain, terdapat had diandaikan atau dinyatakan dalam mana mata pelajaran operasinya adalah terhad. Wacana paling tidak terbatas yang di dalamnya perkataan yang kita gunakan difahami dalam permohonan itu seluas mungkin, dan bagi mereka had wacana adalah bersama dengan orang-orang yang banyak alam semesta itu sendiri. Tetapi yang lebih biasanya kita membataskan diri kita kepada bidang yang kurang luas. Kadang-kadang, berpidato manusia kita membayangkan (tanpa menyatakan had) bahawa adalah lelaki hanya di bawah keadaan dan syarat-syarat tertentu yang kita bercakap, sebagai manusia bertamadun, atau lelaki dalam tenaga hidup, atau orang di bawah beberapa syarat lain atau hubungan. Kini, walau apa jua sejauh mana bidang di mana semua objek wacana kami berada, bidang itu boleh dengan sepatutnya dipanggil alam semesta wacana. Tambahan pula, alam semesta ini wacana adalah di dalam pengertian sebenar subjek utama perbincangan.[29]

Perlakuan tambahan dalam logik

Boole mengandung "simbol elektif" jenis itu sebagai struktur algebra. Tetapi ini konsep umum tidak boleh didapati kepadanya: beliau tidak mempunyai standard pengasingan dalam [algebra [abstrak]] daripada mengandaikan (disangkal) sifat-sifat operasi, dan sifat-sifat disimpulkan.[30] Hasil kerja beliau adalah satu permulaan kepada algebra set, sekali lagi tidak konsep yang disediakan untuk Boole sebagai model biasa. Usaha-usaha beliau menghadapi masalah tertentu, dan rawatan tambahan adalah satu kesukaran yang jelas dalam hari-hari awal.

Boole digantikan operasi pendaraban dengan perkataan 'dan' dan tambahan dengan perkataan 'atau'. Tetapi dalam sistem asal Boole, + adalah operasi separa: dalam bahasa teori set ia akan sesuai hanya untuk kesatuan tak berkait subset. Penulis kemudian ditukar tafsiran, biasa membacanya sebagai eksklusif atau, atau di set segi teori perbezaan simetri; langkah ini bermakna selain sentiasa ditakrifkan.[27][31]

Malah ada kemungkinan yang lain, bahawa + hendaklah dibaca sebagai Pemisahan,[30] Ini kemungkinan lain bermula dari kes tak berkait kesatuan, di mana eksklusif atau dan tidak eksklusif atau kedua-duanya memberikan jawapan yang sama . Pengendalian kekaburan ini adalah satu masalah awal teori, mencerminkan penggunaan moden kedua-dua ring Boolean s dan aljabar Boolean (yang hanya aspek-aspek yang berbeza satu jenis struktur). Boole dan Jevons bergelut lebih hanya isu ini pada tahun 1863, dalam bentuk penilaian yang betul x + x. Jevons berhujah untuk keputusan yang x, yang betul untuk + sebagai Pemisahan. Boole disimpan hasilnya sebagai sesuatu undefined. Beliau berhujah terhadap keputusan 0, yang betul untuk eksklusif atau, kerana beliau melihat persamaan x + x = 0 sebagi sedia tersirat memberikan x = 0, analogi palsu dengan algebra biasa.[9]

Teori kebarangkalian

Bahagian kedua daripada Undang-Undang Pemikiran yang terkandung satu percubaan yang sepadan dengan menemui kaedah umum dalam kebarangkalian. Di sini matlamatnya adalah algoritma: dari kebarangkalian diberikan apa-apa sistem peristiwa, untuk menentukan kebarangkalian berbangkit apa-apa kejadian lain secara logik yang berkaitan dengan peristiwa-peristiwa.[32]